信号与系统知识点整理

LTI系统

基本信号分类

基本连续时间信号

1. 指数信号

   $$x(t) = Ce^{at}$$

   $$特殊形式:x(t) = e^{j\omega_0t}$$

2. 正弦信号

   $$x(t) = A\cos(\omega_0 + \phi)$$

3. 单位冲激信号

   $$\begin{cases}\delta(t) = \begin{cases}0,t\neq 0 \\ \infty,t = 0 \end{cases}\\ \\ \int^\infty_{-\infty} \delta(t)dt = 1 \end{cases}$$

4. 单位阶跃信号

   $$u(t) = \begin{cases}0,t < 0 \\ 1,t > 0\end{cases}$$

基本离散时间信号

1. 指数序列

   $$x[n] = Ca^n$$

   $$特殊形式:x[n] = e^{j\omega_0t}$$

2. 正弦序列

   $$x[n] = A\cos(\omega_0n + \phi)$$

3. 单位脉冲序列

   $$\delta[n] = \begin{cases}0,n \neq 0 \\ 1,n = 0 \end{cases}$$

4. 单位阶跃序列

   $$u[n] = \begin{cases}0,n < 0 \\ 1,n \geq 0 \end{cases}$$

信号的基本变换

1. 时移

   $$x(t) \rightarrow x(t - t_0)$$

2. 尺度变换

   $$x(t) \rightarrow x(at)$$

3. 反褶

   $$x(t) = x(-t)$$

   信号的反褶是特殊的尺度变换，若$a < 0$且$a \neq -1$，则信号 $x(at)$ 是由信号$x(t)$同时进行尺度变换和反褶得到的

信号的性质

线性

1. 齐次性

若$x(t) \rightarrow y(t)$，则$kx(t) \rightarrow ky(t)$

2. 可加性

若$x_1(t) \rightarrow y_1(t),x_2(t) \rightarrow y_2(t)$，则$k_1x_1(t) + k_2x_2(t) = k_1y_1(t) + k_2y_2(t)$

时不变性

若$x(t) \rightarrow y(t)$，则$x(t - t_0) \rightarrow y(t - t_0)$

因果性

因果性是指系统的响应不出现在激励之前（只对自变量为时间的系统有意义）

即若$x(t) = 0,t < t_0$，则$y(t) = 0,t < t_0$

稳定性

稳定系是指对于有界的激励，系统的零状态响应也是有界的

即若$|x(t| < \infty$$，则$$|y(t)| < \infty$

总而言之，LTI系统有以下特性

若$x_1(t) \rightarrow y_1(t),x_2(t) \rightarrow y_2(t)$，则有$k_1x_1(t - t_1) + k_2x_2(t - t_2) \rightarrow k_1y_1(t - t_1) + k_2t_2(t - t_2)$

信号的奇偶分量

偶信号: $x(t) = x(-t)$

奇信号: $x(t) = -x(-t)$

任何信号都可被分解为一个奇信号和一个偶信号

$$奇信号:Od\{x(t)\} = 1 / 2[x(t) - x(-t)]$$

$$偶信号:Ev\{x(t)\} = 1 / 2[x(t) + x(-t)]$$

离散时间LTI系统

离散时间LTI系统对于任意序列$x[n]$的响应为$y[n] = \sum^{\infty}_{k = -\infty}x[k]h[n - k]$，其中$h[t]$为单位冲激响应

连续时间LTI系统

连续时间LTI系统对于任意序列$x[n]$的响应为$y(t) = \int^{\infty}_{-\infty}x(\tau)h(t - \tau)d\tau$

卷积的性质

1. 交换律

   $$x(t) * h(t) = h(t) * x(t)$$

2. 分配律

   $$x(t) * [h_1(t) + h_2(t)] = x(t) * h_1(t) + x(t) * h_2(t)$$

3. 结合律

$$x(t) * [h_1(t) * h_2(t)] = [x(t) * h_1(t)] * h_2(t)$$

4. 求导

$$x'(t) * h(t) = x(t) * h'(t)$$

5. 延时叠加性

   $$x(t - t_1) * h(t - t_2) = y(t - t_1 - t_2)$$

LTI系统的性质

有记忆和无记忆性

若一个系统在任何时刻的输出仅与同一时刻的输入值有关，它就是无记忆的，反之则是有记忆的

可逆性

对于一个LTI系统，仅当存在一个逆系统，其与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统才是可逆的

给定一个LTI系统，其冲激响应为$h(t)$，逆系统的冲激响应为$h_1(t)$，则有$h(t) * h_1(t) = \delta(t)$

因果性

系统的因果性就是在输入事件发生之前，因果系统不会产生任何响应，这等价于初始松弛条件

因果性和初始松弛条件的等价性仅适合LTI系统

稳定性

如果一个系统对于每一个有界的输入，输出都能是有界的，则可以说明该系统是稳定的

LTI系统稳定的充要条件是单位冲激响应绝对可积（和）

$$\int^{\infty}_{-\infty}|h(\tau)|d\tau < \infty$$

$$\sum^{\infty}_{k = -\infty}|h(k)| < \infty$$

单位阶跃响应

一个LTI系统的单位阶跃响应是单位冲激响应的积分（求和）

根据线性和时不变性易证

反之，我们也可以说一个LTI系统的单位冲激响应是单位阶跃响应的一阶导数（一阶差分）

用微分方程描述LTI系统

一个N阶常系数微分方程可以表示为

$$\sum^{N}_{k = 0}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k} = \sum^{M}_{k = 0}b_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}$$

对于一个给定的$x(t)$，方程的完全解为

$$y(t) = y_p(t) + y_h(t)$$

其中$y_p(t)$是特解，$y_h(t)$是齐次解

此处不赘述解微分方程的方法

上述微分方程只涉及三种基本运算：相加，乘以系数和微分，所以一个连续时间LTI系统可以通过三种基本单元：相加器，标量乘法器和微分器（常用积分器替代）的互联来表示

用差分方程描述LTI系统

一个N阶常系数的差分方程可表示为

$$\sum^{N}_{k = 0}a_ky[n - k] = \sum^{M}_{k = 0}b_kx[n - k],a_k,b_k为实常数$$

如果上述差分方程描述的系统是初始松弛的，则该系统是因果的

可以通过将差分方程写成以下形式来方便求解

$$y[n] = \frac{1}{a_0}\{\sum^{M}_{k = 0}b_k\delta[n - k] - \sum^{N}_{k = 1}a_kh[n - k]\}$$

上述差分方程也只涉及到三种基本运算：相加，乘以系数和延迟，所以一个离散时间LTI系统可以通过三种基本单元：相加器，标量乘法器和单位延迟器的互联来表示

奇异函数

单位冲激信号的基本特性

$$\int^{\infty}_{-\infty}x(t)\delta(t - t_0)dt = \int^{\infty}_{-\infty}x(t + t_0)\delta(t)dt = x(t_0)$$

$$\int^{a}_{b}\varphi(t)\delta(t)dt = \begin{cases}\varphi(0),ab < 0\\\\0,ab > 0\\\\无定义,ab = 0\end{cases}$$

$$x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0)$$

$$\delta(t - t_1) * \delta(t - t_2) = \delta(t - t_1 - t_2)$$

单位冲激偶及其特性

单位冲激偶的符号表示是$\delta'(t)$

有定义如下

$$u_k(t) = \frac{t^{k - 1}}{(k - 1)!}u(t)$$

有时候我们也会利用以下等式表示单位冲激和单位阶跃信号

$$\delta(t) = u_0(t)$$

$$u(t) = u_{-1}(t)$$

有如下定理

$$u_{-k}(t) = \underbrace{u(t) * u(t) * \dots * u(t)}_{k次}$$

$$u_k(t) * u_r(t) = u_{k + r}(t)$$

周期信号的傅里叶级数

LTI系统对复指数信号的响应

对于LTI系统，当输入为$x(t) = e^{st}$时，输出为

$$y(t) = H(s)e^{st}$$

其中$H(s)$为复振幅因子，和单位冲激响应的关系可表示为

$$H(s) = \int^{\infty}_{-\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$$

或者是

$$H(s) = \sum^{\infty}_{-\infty}h[k]z^{-k}$$

如果系统对于一个信号的输出响应仅仅是一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子则称为系统的特征值

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

对于周期为$T$的信号$x(t)$，可以被分解为

$$x(t) = \sum^{\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk\omega_0t} = \sum^{\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk\frac{2\pi}{T}t}$$

其中$a_k$被称为$x(t)$的频谱系数，可以通过下列式子求出

$$a_k = \frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt = \frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\frac{2\pi}{T}t}dt$$

当$k = 0$时，求取的值为$x(t)$的一个周期的平均值（直流分量）

使用傅里叶级数的前提是满足Dirichlet条件，即

1. 在任何周期内，$x(t)$都绝对可积

2. 在任何有限区间内，$x(t)$都具有有限个最大值和最小值

3. 在任何有限区间内，$x(t)$都具有有限个不连续点，并且每个不连续点都为有限值（即有限个第一类间断点）

Dirichlet条件只是充分条件，而非必要条件

也有三角型傅里叶级数的表示方法

$$x(t) = a_0 + 2\sum^{\infty}_{k = 1}(B_k\cos k\omega_0t - C_k\sin k\omega_0t)$$

其中，$B_k,C_k$和频谱系数的关系是$a_k = B_k + jC_k$

也可以表示为谐波类型的级数

$$x(t) = a_0 + 2\sum^{\infty}_{k = 1}A_k\cos(k\omega_0t + \theta_k)$$

其中$A_k,\theta_k$与频谱系数的关系为$a_k = A_ke^{j\theta_k}$

连续时间傅里叶级数的性质

若$x(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_k,y(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} b_k$

线性

$$z(t) = Ax(t) + By(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} c_k = Aa_k + Bb_k$$

时移性质

$$x(t - t_0) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} b_k = e^{-jk\omega_0t_0}a_k$$

时间反转

$$x(-t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_{-k}$$

尺度变换

若有

$$x(t) = \sum^{\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$$

则有

$$x(at) = \sum^{\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk(a\omega_0)t}$$

相乘

$$x(t)y(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} h_k = \sum^{\infty}_{l = -\infty}a_lb_{k - l}$$

共轭对称性

$$x^*(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a^*_{-k}$$

$$\begin{cases} x(t) = x^*(t) \Longrightarrow a_k = a^*_{-k},|a_k| = |a_{-k}|,Ev\{x(t)\} \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} Re\{a_k\},Od\{x(t)\} \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} jIm\{a_k\} \\ \\x(t) = x^*(t),x(t) = x(-t) \Longrightarrow a_k = a_{-k},a_k = a^*_k \\ \\x(t) = x^*(t),x(t) = -x(-t) \Longrightarrow a_0 = 0,a_{-k} = -a_k,a_{-k} = a^*_k\end{cases}$$

帕斯瓦尔定理

$$\frac{1}{T}\int_T{|x(t)|}^2dt = \sum^{\infty}_{k = -\infty}{|a_k|}^2$$

离散时间傅里叶级数的表示

对于一个基波周期为$N$的周期序列$x[n]$而言，离散傅里叶级数可以表示为

$$x[n] = \sum_{k = <N>}x[n]e^{-jk\omega_0n}$$

其中$k = <N>$的意思是从任意$k$值开始向后算$N$个数字（即离散序列的一个周期）

由于离散傅里叶级数的项是有限的，所以不需要考虑收敛问题

离散傅里叶级数性质

周期性，线性，时间反转，共轭对称，相乘和帕斯瓦尔定理不赘述，和连续时间基本一致

若有$x[n] \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_k,y[n] \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} b_k$

时移性质

$$x[n - n_0] \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} b_k = a_ke^{-jk\omega_0n_0},|b_k| = |a_k|$$

频移性质

$$e^{jM\frac{2\pi}{N}n}x[n] \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_{k - M}$$

时域尺度变换

$$x_{(m)}[n] = \begin{cases} x[\frac{n}{m}],n是m的倍数\\ \\ 0,n不是m的倍数 \end{cases} \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} \frac{1}{m}a_k$$

其中$x_{(m)}(t)$和$\frac{1}{m}a_k$的周期均为$mN$

周期卷积

$$\sum_{r = <N>}x[r]y[n - r] \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} Na_kb_k$$

频域相乘 $\Longleftrightarrow$ 时域相卷，频域相卷 $\Longleftrightarrow$ 时域相乘

一阶差分

$$x[n] - x[n - 1] \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} (1 - e^{-jk\frac{2\pi}{N}})a_k$$

求和

$$\sum^{n}_{k = -\infty}x[k] \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} \frac{a_k}{1 - e^{-jk\frac{2\pi}{N}}}$$

傅里叶级数与LTI系统

当$s$为一般复数时，$H(s)$称为该系统的系统函数；当$s = j\omega$时，$H(s) = H(j\omega)$，此时的系统函数称为该系统的频率响应

$$H(j\omega) = \int^\infty_{-\infty}h(t)e^{-j\omega t}dt$$

$$H(e^{j\omega}) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}h[n]e^{-j\omega n}$$

对于可以被分解为傅里叶级数的周期信号（无论连续还是离散），其LTI系统的响应都可以被分解为如下形式

$$y(t) = \sum^{\infty}_{k = -\infty}a_kH(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0t}$$

$$y[n] = \sum_{k = <N>}a_kH(e^{jk\frac{w\pi}{N}n})e^{jk\frac{2\pi}{N}n}$$

连续时间傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换

$$X(j\omega) = \mathscr{F}\{x(t)\} = \int^{\infty}_{-\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$$

逆傅里叶变换

$$x(t) = {\mathscr{F}}^{-1}\{X(j\omega)\} = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

一个非周期信号$x(t)$的傅里叶变换$X(j\omega)$被称为信号的频谱，一般情况下，可表示为如下形式

$$X(j\omega) = |X(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}$$

其中$|X(j\omega)|$称为幅度谱，$\varphi(t)$被称为相位谱

傅里叶变换收敛的条件也和傅里叶级数一样

连续时间傅里叶变换的性质

线性，时移，频移，共轭对称性质和帕斯瓦尔定理不做赘述，和傅里叶级数基本一致

若有$x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X(j\omega),x_1(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X_1(j\omega) x_2(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X_2(j\omega)$

时域微分积分性质

$$\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} j\omega X(j\omega)$$

$$\int^t_{-\infty}x(\tau)d\tau \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{j\omega}X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)$$

频域微分积分性质

$$(-jt)x(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}$$

$$-\frac{1}{jt}x(t) + \pi x(0)\delta(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \int^\infty_{-\infty}X(j\Omega)d\Omega$$

尺度变换

$$x(at) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})$$

对偶性

$$X(jt) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} 2\pi x(-\omega)$$

卷积相乘性

$$x_1(t) \ast x_2(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} X_1(j\omega)X_2(j\omega)$$

$$x_1(t)x_2(t) \stackrel{FT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{2\pi}[X_1(j\omega) \ast X_2(j\omega)]$$

连续时间LTI系统的频率响应

频率响应函数

一个连续时间LTI系统的输出可以表示为

$$y(t) = x(t) \ast h(t)$$

根据卷积相乘性可得

$$Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega) \Longrightarrow H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}$$

其中，$H(j\omega)$称为系统的频率响应函数

$$H(j\omega) = |H(j\omega)|e^{j\varphi_H(\omega)}$$

$|H(j\omega)|$称为系统的幅频响应，$\varphi_H(\omega)$称为系统的相频响应

只有稳定系统才存在频率响应

若LTI系统满足以下的线性常系数微分方程

$$\sum^N_{k = 0}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k} = \sum^M_{k = 0}b_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}$$

则该系统的频率响应为

$$H(j\omega) = \frac{\sum^M_{k = 0}b_k{(j\omega)}^k}{\sum^N_{k = 0}a_k{(j\omega)}^k}$$

无失真传输

一个确定的信号经过系统之后，时域波形无改变，仅幅度产生变换，时间上有所延迟

即输出为

$$y(t) = Kx(t - t_d)$$

易得无失真系统必须满足以下条件

$$|H(j\omega)| = K,\varphi_H(\omega) = -\omega t_d$$

也就是说幅频响应必须是一个和频率无关的常数，相频响应必须是频率的线性函数（群延迟）

滤波

频率成形滤波器

用于改变频谱的形状的LTI系统，常见的有微分滤波器，常用于图像边缘的增晰

频率选择性滤波器

1. 理想低通滤波器

$$H(j\omega) = \begin{cases} 1,|\omega| < \omega_c \\ \\ 0,|\omega| > \omega_c \end{cases}$$

2. 理想高通滤波器

   $$H(j\omega) = \begin{cases} 0,|\omega| < \omega_c \\ \\ 1,|\omega| > \omega_c \end{cases}$$

3. 理想带通滤波器

   $$H(j\omega) = \begin{cases} 1,\omega_{c_1} < |\omega| < \omega_{c_2} \\ \\ 0, else \end{cases}$$

4. 理想带阻滤波器

   $$H(j\omega) = \begin{cases} 0,\omega_{c_1} < |\omega| < \omega_{c_2} \\ \\ 1, else \end{cases}$$

带宽

滤波器带宽

理想低通滤波器的绝对带宽是它的截止频率，称为绝对带宽

理想带通滤波器的绝对带宽是$\omega_{c_2} - \omega_{c_1}$

高通和带阻滤波器没有带宽的定义

而对于实际的滤波器，常见的带宽定义是3dB带宽

一般是指幅度谱$H(j\omega)$下降3dB的宽度

信号带宽

信号也有3dB带宽，也有有限带宽信号，即$|X(j\omega)| = 0,|\omega| > \omega_m$，则为有限带宽信号，带宽为$\omega_m$

离散时间傅里叶变换

信号与系统不考，暂略，等我学完DSP再补教程

信号与系统的时域和频域特性

傅里叶变换的模和相位表示

一般而言，傅里叶变换之后的结果是复数，并且可以通过它的实部和虚部来得到模和相位的一些信息

对于连续时间傅里叶变换$X(j\omega)$的模-相表示为

$$X(j\omega) = |X(j\omega)|e^{j\sphericalangle X(j\omega)}$$

同理，对于离散时间傅里叶变换$X(j\omega)$表示为

$$X(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\sphericalangle X(e^{j\omega})}$$

从傅里叶变换的公式本身来看，$X(j\omega)$本身可以看作是信号$x(t)$的一种分解，即分解为许多不同频率的复指数信号之和

其中，$|X(j\omega)|$表示各个频率复指数信号的相对的振幅信息，$\sphericalangle X(j\omega)$表示的是各个频率分量的相对相位信息

LTI系统频率响应的模和相位表示

由傅里叶变换的卷积性质我们可以得出，LTI系统输入和输出的傅里叶变换$X(j\omega)$和$Y(j\omega)$是由如下关系联系起来的

$$Y(j\omega) = H(j\omega)X(j\omega)$$

而对于离散时间情况下，有

$$Y(e^{j\omega}) = H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})$$

而我们从模-相关系去看待这些关系式，不难得出以下结论

$$|Y(j\omega)| = |H(j\omega)||X(j\omega)|$$

$$\sphericalangle Y(j\omega) = \sphericalangle H(j\omega) + \sphericalangle X(j\omega)$$

而在离散时间系统下，也有相似的结论

至此，我们可以归纳一下，LTI系统对于输入信号的作用就是增益和相移

当系统对于输入信号的幅度和相位的改变不符合我们的预期，那么这种现象就称为幅度/相位失真

线性与非线性相位

当相移是$\omega$的线性函数时，就有

$$\sphericalangle H(j\omega) = -\omega t_0$$

从而有时移的效果

$$y(t) = x(t - t_0)$$

当相移不是线性函数时，在输入当中各个不同频率的复指数分量都会移位，它们的相对相移会产生很大的变化，从而导致叠加之后的信号看上去和输入信号有很大的不同

群延迟

设想我们需要检查一个连续时间LTI系统的相移对一个窄带输入信号产生的效果

该窄带信号的傅里叶变换在除了$\omega = \omega_0$为中心的很小一个频率范围之外的都是0或者极小，如果将这个频带取得足够小，则可以将这个系统的相位特性准确的用线性关系来近似

$$\sphericalangle H(j\omega) \simeq -\phi - \omega\alpha$$

也就可以得到

$$Y(j\omega) \simeq X(j\omega)|H(j\omega)|e^{-j\phi}e^{-j\omega\alpha}$$

于是可以说在以$\omega = \omega_0$为中心的很小的一个频带上面的延迟为$\alpha$秒，即在$\omega = \omega_0$的群延迟

在每个频率上的群延迟等于在那个频率上相位特性斜率的负值

$$\tau(\omega) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}\{\sphericalangle H(j\omega)\}$$

群延迟的概念也适用于离散时间系统当中

伯德图

为了方便观察，一般会使用伯德图来描绘信号的幅频特性

伯德图的一般是采用对数为坐标的，即$20\log_{10}$为单位，称为分贝

则易知，0dB对应无增益，频率响应的模为1；20dB对应10倍增益；-20dB对应10倍减益

伯德图有两部分，分别是幅值图和相位图

图的横坐标都是对数频率坐标，优点是可以非常直观的看到较大范围的频率的特性

非理想滤波器

很多情况下我们做不到理想滤波器的效果，所以我们还需要对非理想滤波器进行分析

如图所示，这是一个连续时间低通滤波器

我们会对偏离单位增益的$\pm\delta$进行限制，也就是可容许的通带偏离

而$\delta_2$就是可容许的阻带偏离

这两个量分别被称为通带起伏和阻带起伏

$\omega_p$和$\omega_s$分别称为通带边缘和阻带边缘

从$\omega_p$到$\omega_s$的那一段被称为过渡带

采样

冲激串采样

对于一个连续信号$x(t)$，若用冲激串$p(t) = \sum^\infty_{n = -\infty}\delta(t - nT)$对其进行采样，则时域结果为

$$x_p(t) = x(t) \cdot p(t)$$

在频域内则有

$$X_p(j\omega) = \frac{1}{T}\sum^\infty_{k = -\infty}X(j(\omega - k\omega_s))$$

$$\omega_s = \frac{2\pi}{T}$$

采样定理

设$x(t)$是一个带限信号，在$|\omega| > \omega_M$时，$X(j\omega) = 0$，如果采样频率大于原信号频率的两倍$\omega_s > 2\omega_M$，那么$x(t)$就可以被样本唯一的还原（重建）出来

利用内插由采样点重建信号

如果在采样过程中没有出现频谱的混叠现象，则可以让$x_p(t)$通过一个截止频率为$\omega_c = \frac{\omega_s}{2}$的理想低通滤波器，就可以无失真的恢复原始信号

内插公式如下所示

$$x_r(t) = \sum x(nT)\frac{\omega_cT}{\pi} \cdot \frac{\sin[\omega_c(t - nT)]}{\omega_c(t - nT)}$$

其中$\omega_c = \frac{\omega_s}{2}$

拉普拉斯变换

定义

对于连续时间信号$x(t)$，其双边拉普拉斯变换定义为

$$X(s) = \int^\infty_{-\infty}x(t)e^{-st}dt$$

其中

$$s = \sigma + j\omega$$

若$\sigma = 0$，则复平面的虚轴上的拉普拉斯变换就是连续时间的傅里叶变换

收敛域

能够使$\int^\infty_{-\infty}x(t)e^{-st}dt$收敛的所有$s$值的集合，称为拉普拉斯变换的收敛域

1. 绝对可积的信号的收敛域为整个$s$平面

2. 右边信号的收敛域是$s$平面的某个右半平面

3. 左边信号的收敛域是$s$平面的某个左半平面

4. 双边信号的收敛域可能是一个平行于虚轴的带状区域，也可能收敛域不存在

拉普拉斯变换还包括以下一些性质

1. 收敛域不包含极点（可以包含零点）
2. 如果拉普拉斯变换$X(s)$是有理数，则收敛域的边界可以由极点确定

拉普拉斯逆变换

进行逆变换时，通常先根据收敛域判断$x(t)$的类型，然后再进行计算

通常我们使用部分分式展开法

先将$X(s)$展开为

$$X(s) = \sum^m_{i = 1}\frac{A_i}{s + a_i}$$

然后利用变换对

$$A_ie^{-a_it}u(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \frac{A_i}{s + a_i}$$

对每一项进行逆变换，就可以得到$x(t)$了

拉普拉斯变换的性质

设$x(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} X(s),ROC = R;x_1(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} X_1(s),ROC = R_1;x_2(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} X_2(s),ROC = R_2$

线性

$$ax_1(t) + bx_2(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} aX_1(s) + bX_2(s),ROC包含R1\cap R2$$

时移频移性

$$x(t - t_0) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} e^{-st_0}X(s),ROC = R$$

$$e^{s_0t}x(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} X(s - s_0),ROC = R + Re\{s_0\}$$

尺度变换

$$x(at) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a}),ROC = aR$$

共轭性质

$$x^\ast(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} X^\ast(s^\ast),ROC = R$$

时域卷积性质

$$x_1(t) \ast x_2(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} X_1(s) \cdot X_2(s),ROC包含R_1\cap R_2$$

时域积分微分性质

$$\int^t_{-\infty}x(\tau)d\tau \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \frac{X(s)}{s},ROC包含R\cap{\{Re\{s\} > 0\}}$$

$$\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} sX(s),ROC包含R$$

s域微分性质

$$-tx(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \frac{dX(s)}{ds},ROC = R$$

初值定理

设$x(t)$是因果信号，则有$x(0^+) = \underset{s \rightarrow \infty}{\lim}X(s)$

终值定理

若$X(s)$的所有极点要么位于$s$左半平面，要么是位于原点的一阶极点，则有$\underset{t \rightarrow \infty}{\lim}x(t) = \underset{s \rightarrow 0}{\lim}X(s)$

拉普拉斯变换的系统函数

定义和傅里叶变换部分的系统函数基本相同

$$H(s) = \mathscr{L}\{h(t)\} = \int^\infty_{-\infty}h(t)e^{-st}dt$$

对于一个具有有理系统函数的LTI系统而言，其因果性$\Longleftrightarrow$ROC在$H(s)$最右边极点的右半平面

如果没有有理的系统函数，那就是反之不然的

一个连续的LTI系统是稳定的$\Longleftrightarrow$系统函数$H(s)$的ROC包含$j\omega$轴

单边拉普拉斯变换

$$\mathscr{X}(s) = \int^\infty_{0^-}x(t)e^{-st}dt$$

一个因果信号的单边拉普拉斯变换的结果和双边拉普拉斯变换相同

信号$x(t)$的单边拉普拉斯变换等于信号$x(t)u(t)$的双边拉普拉斯变换

单边拉普拉斯变换的性质

下面仅列出和双边拉普拉斯变换不同的性质

设$x(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \mathscr{X}(s),x_1(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \mathscr{X}_1(s),x_2(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \mathscr{X}_2(s)$

时域卷积

$$x_1(t) \ast x_2(t) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \mathscr{X}_1(s) \cdot \mathscr{X}_2(s)$$

其中$x_1(t),x_2(t)$必须为因果信号

时域微分积分

$$\frac{d^nx(t)}{dt^n} \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} s^n\mathscr{X}(s) - \sum^{n - 1}_{k = 0}s^{n - k - 1}x^{(k)}(0^-)$$

$$\int^t_{0^-}x(\tau)d\tau \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{s}\mathscr{X}(s),此处x(t)必须为因果信号$$

尺度变换

$$x(at) \stackrel{LT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{a}\mathscr{X}(\frac{s}{a}),a > 0$$

z变换

定义

对于序列$x[n]$，其双边$z$变换定义为

$$X(z) = \sum^\infty_{n = -\infty}x[n]z^{-n}$$

$$z = re^{j\omega}$$

若$r = 1$，则在单位圆上进行的$z$变换就是离散时间傅里叶变换

收敛域

能使洛朗级数$\sum^\infty_{n = -\infty}x[n]z^{-n}$收敛的$z$的集合称为$z$变换的收敛域

收敛域有以下几种类型

1. 有限长序列的收敛域为整个$z$平面

2. 右边序列的收敛域是某个圆的外部区域

3. 左边序列的收敛域是某个圆的内部区域

4. 双边序列的收敛域是夹在两个半径有限的圆的环形区域，或者不存在

收敛域还有以下一些性质

1. 收敛域不包含极点
2. 若$z$变换$X(z)$是有理函数，则其收敛域的边界由其极点确定
3. 若$x[n]$为因果序列（当$n < 0$时，$x[n] = 0$），$X(z)$的收敛域将包含$z = \infty$
4. 若$x[n]$为反因果序列（当$n > 0$时，$x[n] = 0$），$X(z)$的收敛域将包含$z = 0$

逆z变换

在进行逆$z$变换时，应该先通过ROC判断$x[n]$类型，然后选用合适的方法进行计算

幂级数展开法

若$X(z)$为有理函数，则可以通过长除法将$X(z)$展开成幂级数，取各项的系数就可以得到$x[n]$

部分分式展开法

可以先将有理的$X(z)$展开为

$$X(z) = \sum^m_{i = 1}\frac{A_i}{1 - a_iz^{-1}} = \sum^m_{i = 1}\frac{A_iz}{z - a_i}$$

然后利用变换对

$$A_ia^n_iu[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1 - a_iz^{-1}}$$

对以上和式的每一项求逆变换，就可以得到$x[n]$

z变换的性质

设$x[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} X(z),ROC = R;x_1[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} X_1(z),ROC = R_1;x_2[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} X_2(z),ROC = R_2$

线性

$$ax_1[n] + bx_2[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} aX_1(z) + bX_2(z),ROC包含R_1\cap R_2$$

时移性

$$x[n - n_0] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} z^{-n_0}X(z),ROC = R$$

$z = 0$或$z = \infty$可能加入R当中，或者被剔除出去

尺度变换

$$z^n_0x[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} X(\frac{z}{z_0}),ROC = |z_0|R$$

时域扩展

若定义

$$x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[\frac{n}{k}],n为k的倍数 \\ \\ 0,n不为k的倍数\end{cases}$$

则有

$$x_k[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} X(z^k),ROC = \sqrt[k]{R}$$

共轭性质

$$x^\ast[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} X^\ast(z^\ast),ROC = R$$

时域卷积性质

$$x_1[n] \ast x_2[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} X_1(z) \cdot X_2(z),ROC包含R_1\cap R_2$$

z域微分

$$nx[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz},ROC = R$$

初值定理

设$x[n]$为因果序列，即当$n < 0$时,$x[n] = 0$，则有

$$x[0] = \underset{z \rightarrow \infty}{\lim}X(z)$$

终值定理

若$x[n]$为因果序列，则有

$$\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x[n] = \underset{z \rightarrow 1}{\lim}(z - 1)X(z)$$

z变换的系统函数

定义和傅里叶变换部分的系统函数基本相同

$$H(z) = \mathscr{Z}\{h[n]\} = \sum^\infty_{n = -\infty}h[n]z^{-n}$$

若某离散LTI系统的系统函数$H(z)$的收敛域是某个圆的外部区域，并且包含$z = \infty$，则该系统是因果的；反之亦然

一个离散LTI系统是稳定的$\Longleftrightarrow$系统函数$H(z)$的ROC包含单位圆$|z| = 1$

单边z变换

对于序列$x[n]$，其单边$z$变换定义为

$$\mathscr{Z}(z) = \sum^\infty_{n = 0}x[n]z^{-n}$$

一个因果序列的单边$z$变换和双边$z$变换相同

序列$x[n]$的单边$z$变换等于序列$x[n]u[n]$的双边$z$变换

单边z变换的性质

这里仅列出和双边$z$变换不同的性质

设$x[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} \mathscr{Z}(z),x_1[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} \mathscr{Z}_1(z),x_2[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} \mathscr{Z}_2(z)$

时域卷积性质

$$x_1[n] \ast x_2[n] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} \mathscr{Z}_1(z) \cdot \mathscr{Z}_2(z)$$

其中$x_1[n],x_2[n]$必须均为因果序列

累加和性质

$$\sum^n_{k = 0}x[k] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1 - z^{-1}}\mathscr{Z}(z)$$

此处$x[n]$必须是因果序列

时域延时和超前

$$x[n - m] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} z^{-m} \begin{bmatrix}\mathscr{Z}(z) + \sum^{-m}_{n = -1}x[n]z^{-n}\end{bmatrix},m > 0$$

$$x[n + m] \stackrel{ZT}{\longleftrightarrow} z^{-m} \begin{bmatrix}\mathscr{Z}(z) - \sum^{m - 1}_{n = 0}x[n]z^{-n}\end{bmatrix},m > 0$$

至于通信系统下次再补谔谔，我手都要断了😭

现在是，摸🐟时间